Можно и без трудового договора по идее, если в референсе всё есть.
Из трудового договора они хотят видеть всё то же, что и из референса: даты трудоустройства, занятость, должность, обязанности, контакты работодателя.
Соответственно если референс был custom-made, то нужно ещё проследить, чтобы ничто не противоречило договору, если уж оба будут в деле.